第82章(2/2)

首发：~第82章

林云看着这道题，再次拿起笔，在纸上开始分析。

首先，求函数z在区域d内的驻点。

分别对x和y求偏导数：

z_x = 3x2 - 3y，z_y = 3y2 - 3x。

令z_x = 0，z_y = 0，得到方程组：

\\begin{cases}3x2 - 3y = 0 \\\\ 3y2 - 3x = 0 \\end{cases}

由3x2 - 3y = 0可得y = x2，将其代入3y2 - 3x = 0中，得到：

3(x2)2 - 3x = 0，即3x4 - 3x = 0，提取公因式3x得3x(x3 - 1)=0。

解得x = 0或x = 1。

当x = 0时，y = 0；当x = 1时，y = 1。所以函数z在区域d内有两个驻点(0,0)和(1,1)。

接着，求函数z在区域d边界上的最值。

边界x = 0（0\\leq y\\leq2）上，z = f(0,y)=y3，z\\prime = 3y2\\geq0，所以z在[0,2]上单调递增，z(0)=0，z(2)=8。

边界y = 0（0\\leq x\\leq2）上，z = f(x,0)=x3，z\\prime = 3x2\\geq0，所以z在[0,2]上单调递增，z(0)=0，z(2)=8。

边界x + y = 2（x\\geq0，y\\geq0）上，y = 2 - x，将其代入z = f(x,y)中得：

z = f(x,2 - x)=x3 + (2 - x)3 - 3x(2 - x)

展开并化简：

\\begin{align}

z&=x3 + (8 - 12x + 6x2 - x3) - (6x - 3x2)\\\\

&=x3 + 8 - 12x + 6x2 - x3 - 6x + 3x2\\\\

&=9x2 - 18x + 8

\\end{align}

对z = 9x2 - 18x + 8求导得z\\prime = 18x - 18，令z\\prime = 0，解得x = 1，此时y = 1，z(1)=9 - 18 + 8 = -1。

最后，比较驻点和边界上的函数值：

f(0,0)=0，f(1,1)=1 + 1 - 3 = -1，f(2,0)=8，f(0,2)=8。

所以函数z在闭区域d上的最大值为8，最小值为-1。

林云完成了解题过程，再次拍照上传到群里。粉丝们看到答案后，又是一阵惊叹和夸赞。

“云宝，你简直就是数学大神啊，这解题过程太详细了！”

“跟着云宝学数学，感觉数学都变得简单了。”

“云宝，你是不是偷偷去数学系进修了，这水平绝了！”

林云看着群里的消息，笑着回复道：“大家别夸啦，我就是把自己的思路分享给大家，一起进步嘛。数学其实很有趣，只要掌握了方法，就能发现其中的乐趣。”

在接下来的时间里，林云继续和粉丝们在群里交流着数学知识和学习经验。他的耐心解答和专业分析，让粉丝们对他的崇拜又加深了几分。而林云也在这个过程中，收获了满满的快乐和成就感。他没想到，自己曾经热爱的数学，在这个粉丝群里，能成为连接他和粉丝们的桥梁，让彼此在知识的海洋里共同探索，共同成长。