第119章 突然释怀的笑了(1/2)

首发：~第119章 突然释怀的笑了

八点，试卷分发。

试题与昨天也没有太大的变化，同样是三道题。

一旦进入做题状态，李泽翰瞬间收敛起所有心思，专注看向题目，仿佛换了个人。

这道题题目还是很好理解的，意思是说，有2025个核桃被打乱了，放在一个圆周上，每个位置核桃的编号是已知的。

然后在接下来的2025次操作中，每次操作第k个核桃的左右两个核桃，要证明必然存在某一次，k个核桃两边核桃编号，一个比k大，一个比k小。

看到这道题，李泽翰心中就已经有了思路。

初中就学过，遇到存在性问题的证明，第一时间应该想到反证法。

假设这2025次操作中，k两边的核桃编号都比k大，或者都比k小。

这种关系是比较难描述的，这个时候，自然而然的就能想到染色法。

这也是在解决存在性问题时的常用方法，染色之后，就能对构成的点线面角等进行数量和性质进行分析，以此来简化问题，让问题变得更直观。

对应到这道题，可以在第k次操作中，对第k个核桃进行染色，比如，染成黄色。

这样操作之后，所有小于k的核桃都会被染成黄色，而大于k的核桃则都没有被染色，这样就能清晰的区分大于k和小于k的两类核桃。

最后的证明也就变成了，证明在这2025次操作中，必然存在某一次操作，交换了两个颜色不同的核桃。

再使用反证法，假设每次操作交换的都是同色的核桃。

“那么，这样做最后能导出什么样的矛盾呢？”

李泽翰皱眉思考起来。

最开始所有的核桃都没有被染色，操作完成之后，所有的核桃都被染成了黄色。

这中间存在一个状态的转换。

如果只是一个个的核桃进行染色，自然是没问题的，但现在是染色，加上交换同色的核桃，这很可能导致状态转换的失败。

再加上题目要求证明，那么显然，这个染色加同色交换的操作会导致染色失败。

短暂的思考后，李泽翰找到了解题的关键。

但还缺了关键一步。

怎么证明染色会失败呢？

李泽翰冥思苦想。

显然，光是染色核桃还不够，这很难证明最终的结论。

“我知道了！”

在脑海中一阵推导演算之后，李泽翰脑中灵光一闪。

光是染色核桃不够，那就再把相邻核桃的连接边也染色，可不就大功告成了吗！

如果相邻两个核桃都是黄色的，就把连接两个核桃的边也染成黄色。

所以一开始，所有的边都是没有染色的，2025次操作结束后，所有的2025条边都是黄色的。

如果每次交换的核桃都是同色的，那么第k个核桃和与他相邻的两条边的颜色并不会发生变动，交换这个操作不会引起任何状态的转移。

只有对第k个核桃进行染色，可能导致边颜色的变化，如果相邻两个核桃是未被染色的，那么这次染色操作不会带来边的变化，如果两个核桃都被染色，那么就有多出两条被染色的边。

也就是说，每次操作要么增加0条染色的边，要么增加2条染色的边，不可能出现2025条奇数边的情况，与题设矛盾，证明完成！

“我真是个天才！”

李泽翰心中嘿嘿怪笑，即便他心中也明白，这道题也就初中难度，只要掌握了方法，很轻易就能做出来，但并不妨碍他觉得自己超棒。

回头看了眼时间，距离八点才过去二十多分钟。